Último teorema de Fermat

Hoy hace 410 años que nació Pierre de Fermat. Nacido en Beaumont-de-Lomagne, Francia, el 17 de agosto de 1601 y fallecido en Castres, Francia el 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».2

Fermat fue junto con René Des

cartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue co-fundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.

Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.

Último teorema

En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números naturales a, b y c, tales que se cumpla la igualdad (a,b>0):

Pierre de Fermat escribió en el margen de su copia del Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados para encontrar ternas pitagóricas.

En su anotación, escrita en latín, decía:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

Esta afirmación, conocida en la era moderna como último teorema de Fermat se convirtió en una de las afirmaciones a probar más importantes en matemáticas.

Se desconoce si realmente Fermat halló la demostración ya que no dejó ningún rastro de esta para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema mantuvo en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos, hasta que en 1995 Andrew Wiles encontró la demostración.

Andrew utilizó para ello una conjetura surgida en la era moderna, conocida como conjetura de Taniyama-Shimura. Por lo tanto Andrew utilizo herramientas de que surgieron mucho después de la muerte de Fermat, por lo que tenemos que entender que el matemático Francés debió encontrar la solución por otros caminos. En cualquier caso, Fermat tenía razón.

Demostración

En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, demostró el caso semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas.

De este trabajo, combinado con ideas de Frey y con el Teorema de Ribet, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat. Aunque una versión anterior (no publicada) del trabajo de Wiles contenía un error, este pudo ser corregido en la versión publicada, que consta de dos artículos, el segundo en colaboración con el matemático Richard Taylor.

En estos trabajos por primera vez se establecen resultados de modularidad a partir de modularidad residual, por lo cual los resultados del tipo de los probados por Wiles y Taylor son denominados "Teoremas de Levantamiento Modular".

En la actualidad resultados de este tipo, mucho más generales y poderosos, han sido probado por varios matemáticos: además de generalizaciones probadas por Wiles en colaboración con C. Skinner y de Taylor en colaboración con M. Harris, los más generales en la actualidad se deben a M. Kisin. En el trabajo de 1995 de Wiles se abrió una nueva vía, prácticamente una nueva área: la de la modularidad.

Con estas técnicas de las que este trabajo fue pionero, más recientemente se han resuelto otras importantes conjeturas, como la Conjetura de Serre y la de Sato-Tate. Curiosamente, la resolución de los primeros casos de la Conjetura de Serre (trabajos de Khare, Wintenberger y Dieulefait), como observara el propio Serre al formular la conjetura, permite una nueva demostración del Último Teorema de Fermat.

Los trabajos de Wiles por lo tanto tienen una importancia que trasciende ampliamente su aplicación al Último Teorema de Fermat, se consideran centrales en la Geometría Aritmética moderna y se espera que sigan jugando un rol vital en la demostración de resultados de modularidad que se enmarcan en el Programa de Langlands.